Algèbre de Boole

Règles mathématiques s'appliquant dans l'espace booléen.

[modifier] Opérateurs logiques

Les opérateurs disponibles sont les suivants:

• l'opérateur ET (AND), que l'on représente par un .: si R = A.B, alors R=1 si et seulement si A=1 et B=1. Par conséquent, il est possible de dire que A.1=1, ainsi que A.0=0
• l'opérateur OU (OR), que l'on représente par un +: si R = A+B, alors R=1 si A=1 ou B=1. Par conséquent, il est possible de dire que A+0=A ainsi que A+1=1.
• l'inversion logique (NOT), que l'on représente par une barre horizontale au-dessus de la variable: R=1 si et seulement si non(A)=0. Et inversement.
• le OU exclusif (XOR) est un opérateur composé, qui sera vu plus bas.

[modifier] Propriétés

• Priorité: l'opérateur ET est prioritaire sur l'opérateur OU.
• Associativité: les parenthèses peuvent être oubliées tant que les opérateurs sont identiques. Donc (A+B)+C = A+(B+C) = A+B+C. De même, (A.B).C = A.(B.C) = A.B.C
• Commutativité: l'ordre est peu important. Ainsi A+B = B+A. De même A.B = B.A
• Distributivité: A.(B+C) = A.B+A.C et A+(B.C) = (A+B).(A+C)
• Complémentarité: non(non(A)) = A, A+(non(A)) = 1, A.(non(A)) = 0
• Théorème de de Morgan: non(A+B) = non(A).non(B) et non(A.B) = non(A)+non(B)

[modifier] Opérateur composé

• le OU exclusif (XOR): si R = A XOR B, alors R=1 si A=1 et B=0, ou si A=0 et B=1. En somme, A XOR B = A.non(B)+non(A).B = (A+B).non(A.B)